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本文目录
圆弧定理
弧等弦等圆心角等弦心距等。
圆心角的定理
圆心角定理:
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
理解：(定义）
（1）等弧对等圆心角
（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．
（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．
（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
圆的外角和公式
1,假设圆内角为apb,顶点为p交圆于ab两点,对顶角为cpd,交圆于cd两点,连接bc(ad也行,反正是p同侧的两点).
a)apb=acb+pbc(三角形外角等于不相邻两内角之和)
acb等于弧ab对应圆心角aob的一半(也就是弧ab的一半)
即
b)acb=1/2*弧ab度数
pbc也就是dbc等于弧cd对应圆心角doc的一半(也就是弧cd的一半)
即
c)pbc(dbc)=1/2*弧cd度数
结合abc三式:apb=1/2*(弧ab度数+弧cd度数)
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2.假设圆内角为apb,顶点为p交圆近端于ab两点,交圆远端于cd两点,且ad共线,bc共线.
连接ac(bd也行,不共线的点),由"三角形外角等于不相邻两内角之和"可知
a)apb=dac-acp(也就是dac=apb+acb)
而dac等于弧dc度数一半,也就是
b)dac=1/2*弧cd度数
同理acb等于弧ab度数一半,即
c)acb=1/2*弧ab度数
结合abc三式,apb=1/2*(弧cd度数-弧ab度数)
三角形圆心角平分线定理
三角形内角平分线性质定理：在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则BD/DC=AB/AC。
应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例。
三角形内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.
三角形外角平分线的性质定理：三角形外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例.
圆顶角定理
圆顶角正确的应叫圆周角。
定理推论:
数学术语
圆周角定理的推论的内容是同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.。
其他推论。
①圆周角度数定理，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。
③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。
④半圆（或直径）所对圆周角是直角。
⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
圆弧定理的重要前提条件
重要前提条件是“同圆或等圆中”。
圆弧定理（也叫做圆心角定理），在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆心角所对的弧，两个圆心角所对的弦，两条弦的圆心距，如果有一组量对应相等，那么其他的几组量也分别对应相等。定理成立的前提条件是两个（同圆或等圆中，一组量相等），缺一不可。
圆心角的确切定义是什么
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
①，圆心角：
顶点在圆心的角叫做圆心角。
②，圆周角：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。
1、弦：连接圆上任意两点的线段。
2、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；
劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示）
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
4、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
5、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
6、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
四、圆心角特征识别:
①顶点是圆心；
②两条边都与圆周相交。
计算公式:
①L(弧长)=n/180Xπr（n为圆心角度数，以下同）；
②S(扇形面积)=n/360Xπr2；
③扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。
④K=2Rsin(n/2)K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
与圆周角关系:
在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。
定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。
五、圆心角定理及其推论
圆心角定理常用于数学计算，其主要功能用来计算相关圆的弧长问题。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
圆心角定理推论过程：根据旋转的性质，将∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置时，显然∠AOB=∠A'OB'，射线OA与OA'重合，OB与OB'重合，而同圆的半径相等，OA=OA'，OB=OB'，从而点A与A'重合，B与B'重合。
因此，弧AB与弧A'B'重合，AB与A'B'重合。即弧AB=弧A'B'，AB=A'B'。则得到上面定理。
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